View source for 拋物線

'''拋物線'''者，一名'''畢弗'''，[[平方]][[函數]]之易也<ref><math> Ax+By+C = (Dx+Ey+F)^2 </math></ref>，亦[[圓錐曲線]]耳。投射矢石，咸從之而行，因以為名。

有[[對稱]]軸，軸上有焦點。[[光]]平行於軸，[[反射]]於線，必至焦點。故[[電子望遠鏡]]咸為拋物線，所以聚光源也，[[探照燈]]則反之，所以得光束也。
{{當代數學}}
==定義==
[[平面]]上落一焦點<math>P(x,y)</math>，又有一線<math>L:ax+by+c=0</math>，點P不落於線，而求至項點距同於至線之距者，其形也拋物線也。

== 方程 ==

===定義式===
據其義，集為圖形之點<math>P(x,y)</math>，至準、焦同長也。
定焦<math>F(x_F,y_F)</math>、準<math>L:ax+by+c=0</math>。以[[畢氏定理]]知至焦之長曰<math>\sqrt{(x-x_F)^2 + (y-y_F)^2}</math>，至準之距曰<math>\frac{|ax+by+c=0|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>，其同長者，即：
*<math>\sqrt{(x-x_F)^2 + (y-y_F)^2} = \frac{|ax+by+c=0|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>

===對稱軸[[平行]]於座標軸===
以<math>A(x_0,y_0)</math>為頂。
====左右開向====
*<math>y^2=4cx</math>，焦距即<math>|c|</math>。<math>c>0</math>者，右口也；<math>c<0</math>者，左口也。

====上下開向====
*<math>x^2=4cy</math>，焦距即<math>|c|</math>。<math>c>0</math>者，上口也；<math>c<0</math>者，下口也。


====[[二次函數]]====
a者，非零也。
*以上下為口者，<math>y=a(x-x_0)^2+y_0</math>或<math>y=ax^2+bx+k</math>。
*以左右為口者，<math>x=a(y-y_0)^2+x_0</math>或<math>x=ay^2+by+k</math>。

===推導===

設其項點(0,0)，準線<math>l:x=-\frac{p}{2}\ ,p \not =0</math>，集點<math>F(\frac{p}{2},0)</math>，則可得

<math>\mathrm{P}=[M | MF=d]</math>

<math>\overline{MF}=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}\ ,d=\left \vert x+\frac{p}{2} \right \vert</math>

即

<math>\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=\left \vert x+\frac{p}{2} \right \vert</math>

平方之，得

<math>(x-\frac{p}{2})^2+y^2=(x+\frac{p}{2})^2</math>

得

<math>y^2=2px</math>

亦有

<math>x^2=2py</math>

二次函數

* <math>y=a(x-h)^2+k</math> （<math>h</math>，<math>k</math> 為頂點之橫[[座標]]及縱座標，且<math>h=-\frac{b}{2a}</math>，<math>k=-\frac{\Delta}{4a}</math>）

導數

<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{a(x+ \Delta x -h)^{2}+k-[a(x-h)^2+k]}{\Delta x}=a[2x+(\Delta x)^{1}-2h]</math>

<math>f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=2a(x-h)</math>

* <math>y=ax^2+bx+c</math>

導數

<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{a(x+\Delta x)^{2}+b(x+\Delta x)+c-[ax^{2}+bx+c]}{\Delta x}=2ax+a\Delta x +b </math>

<math>f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=2ax+b</math>


== 注 ==
<references/>

{{幾何術語}}

[[Category:平面幾何]]