拋物線

拋物線者，一名畢弗，平方函數之易也，亦圓錐曲線耳。投射矢石，咸從之而行，因以為名。

有對稱軸，軸上有焦點。光平行於軸，反射於線，必至焦點。故電子望遠鏡咸為拋物線，所以聚光源也，探照燈則反之，所以得光束也。 Template:當代數學

定義

平面上落一焦點$P(x,y)$，又有一線$L:ax+by+c=0$，點P不落於線，而求至項點距同於至線之距者，其形也拋物線也。

方程

定義式

據其義，集為圖形之點$P(x,y)$，至準、焦同長也。 定焦$F(x_F,y_F)$、準$L:ax+by+c=0$。以畢氏定理知至焦之長曰$\sqrt{(x-x_F{)}^2+(y-y_F{)}^2}$，至準之距曰$\frac{|ax+by+c=0|}{\sqrt{a^2+b^2}}$，其同長者，即：

• $\sqrt{(x-x_F{)}^2+(y-y_F{)}^2}=\frac{|ax+by+c=0|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

對稱軸平行於座標軸

以$A(x_0,y_0)$為頂。

左右開向

• $y^2=4cx$，焦距即$|c|$。$c>0$者，右口也；$c<0$者，左口也。

上下開向

• $x^2=4cy$，焦距即$|c|$。$c>0$者，上口也；$c<0$者，下口也。

二次函數

a者，非零也。

• 以上下為口者，$y=a(x-x_0{)}^2+y_0$或$y=a{x}^2+bx+k$。
• 以左右為口者，$x=a(y-y_0{)}^2+x_0$或$x=a{y}^2+by+k$。

推導

設其項點(0,0)，準線$l:x=-\frac{p}{2},p=0$，集點$F(\frac{p}{2},0)$，則可得

$\mathrm{P}=[M|MF=d]$

$\overline{MF}=\sqrt{(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2},d=|x+\frac{p}{2}|$

即

$\sqrt{(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2}=|x+\frac{p}{2}|$

平方之，得

$(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2=(x+\frac{p}{2}{)}^2$

得

$y^2=2px$

亦有

$x^2=2py$

二次函數

• $y=a(x-h{)}^2+k$ （$h$，$k$ 為頂點之橫座標及縱座標，且$h=-\frac{b}{2a}$，$k=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$）

導數

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{a(x+\mathrm{\Delta }x-h{)}^2+k-[a(x-h{)}^2+k]}{\mathrm{\Delta }x}=a[2x+(\mathrm{\Delta }x{)}^1-2h]$

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=2a(x-h)$

• $y=a{x}^2+bx+c$

導數

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{a(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2+b(x+\mathrm{\Delta }x)+c-[a{x}^2+bx+c]}{\mathrm{\Delta }x}=2ax+a\mathrm{\Delta }x+b$

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=2ax+b$