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'''洛倫茨變換'''，各參照系[[物理量]]之轉換關係也，[[數學]][[方程組]]也。

名於創立者[[荷蘭]]物理學家[[亨德里克·洛倫茲]]。洛倫茲變換初以調[[經典電動力學]][[牛頓力學]]，後乃[[狹義相對論]]基本方程組也。

== 始 ==
[[麥克斯韋方程組]]之[[經典電動力學]]於[[經典力學]][[伽利略變換]]非[[協變]]也。

== 數學形式 ==
[[File:Lorentz transform of world line.gif|right|framed|加速觀者[[世界線]]之時空。豎時橫距，虛劃[[時空]]軌也。]]

洛倫茲變換視[[以太]]存也，然今未見有也。據[[光速不變原理]]，光恆速也。[[愛因斯坦]]遂提之[[狹義相對論]]，[[時空]]乃一也，遂曰：

:<math>\begin{cases}
x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\
y' = y \\
z' = z \\
t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{cases}</math>

箇中：x、y、z、t，慣性坐標系Σ之位也；x'、y'、z'、t'慣性坐標系Σ'之位也；v，Σ'系對Σ沿x軸之速也。

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

:<math>\begin{cases}
x = \frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\
y = y' \\
z = z' \\
t = \frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{cases}</math>

v遠小光c乃退之[[經典力學]][[伽利略變換]]：

:<math>\begin{cases}
x' = x-vt \\
y' = y \\
z' = z \\
t' = t
\end{cases}</math>

遂狹義相對論經典力學不矛盾，差之不大。高速如[[電子]]，方須慮修之以相對論。

== 四維形式 ==
狹義相對論時空坐標四參數{{按|（t,x,y,z）}}也。洛倫茲變換可得四維[[間隔]]{{按|（s<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>t<sup>2</sup>-x<sup>2</sup>-y<sup>2</sup>-z<sup>2</sup>）}}不變之變。

若x、y、z化x<sup>1</sup>、x<sup>2</sup>、x<sup>3</sup>曰：

:<math>\begin{cases}
x^{0} = ct \\
x^{\prime}{}^{0} = ct^{\prime}
\end{cases}</math>

可[[矩陣]]之：

:<math>
\begin{bmatrix}x^{\prime}{}^{0}\\x^{\prime}{}^{1}\\x^{\prime}{}^{2}\\x^{\prime}{}^{3}\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta\gamma&0&0\\
-\beta\gamma&\gamma&0&0 \\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}</math>

箇中<math>\beta = \frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>，曰[[洛倫茲因子]]。

== 勞侖茲變換之推導 ==
[[愛因斯坦]]初推之勞侖茲變換以光速不變之物理原則作始點。實，勞侖茲變換不決於[[電磁波]]之物理性質；粒子[[定域性原理]]之弗能瞬傳，此最高速巧光速也。

=== 群論之推導 ===
作乘組[[群]]符之公理曰：
# [[閉合]]：以<math>[K \to K^\prime]</math>寫<math>K</math>到<math>K^{\prime}</math>。<math>[K \to K^{\prime\prime}] = [K \to K^\prime] [K^{\prime} \to K^{\prime\prime}]</math>
# [[結合律]]：<math>[K \to K^{\prime}] \left([K^{\prime} \to K^{\prime\prime}] [K^{\prime\prime} \to K^{\prime\prime\prime}]\right) = \left([K \to K^{\prime}] [K^{\prime} \to K^{\prime\prime}]\right) [K^{\prime\prime} \to K^{\prime\prime\prime}]</math>
# [[單位元]]：<math>[K \to K]</math>
# [[逆元]]：<math>[K \to K^\prime]</math>可返原系<math>[K^\prime \to K]</math>

=== 符合群公理之轉矩陣 ===
<math>K</math>、<math>K^\prime</math>，<math>K^\prime</math>之原點相對<math>K</math>原點速<math>v</math>{{按|設向<math>z</math>無<math>x</math>、<math>y</math>方向}}。出時空之[[均勻性]]勞侖茲變換必保慣性，必一[[綫性轉換]]，可矩陣之：
: <math>\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}</math>
箇中<math>\Lambda_{ij}</math>乃待算之矩陣元。相對速<math>v</math>之函數。

參照系<math>K^\prime</math>之原點<math>O^\prime</math>於參照系<math>K</math>之運動曰：
: <math>\begin{pmatrix}t^\prime \\ 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ v t \end{pmatrix}</math>
得
: <math>\Lambda_{21}+v \, \Lambda_{22}=0</math>

同，參照系<math>K</math>之原點<math>O</math>於參照系<math>K^\prime</math>之運動曰：
: <math>\begin{pmatrix}t^\prime \\ -v t^\prime \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix}</math>
得
: <math>\Lambda_{21} + v \, \Lambda_{11}=0</math>

主斜同且可曰<math>\gamma\equiv\Lambda_{11} = \Lambda_{22}\,</math>。<math>\Lambda_{21}= -v \,\gamma</math>：
: <math>\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \gamma & \Lambda_{12} \\ -v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}</math>
因<math>t^\prime = \gamma t</math>，<math>\gamma</math>乃[[時間膨脹]]之因子。各向同性<math>\gamma</math>僅決速即<math>\gamma(-v)=\gamma(v)</math>。

群元可逆故取逆矩陣：
: <math>\begin{pmatrix}t \\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma}
\begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}</math>

以<math>\gamma</math>之性質：
: <math>\frac{1}{\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma}
\begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix}</math>

每較得：
: <math>\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma = 1</math>

閉合性求兩轉換等速度和之單次轉換。即兩矩陣之積：
: <math>\begin{pmatrix} \gamma^\prime & \Lambda_{12}^\prime \\
-v^\prime \gamma^\prime & \gamma^\prime \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \gamma & \Lambda_{12} \\ -v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \gamma^\prime\gamma - \Lambda_{12}^\prime v\gamma
& \gamma^\prime\Lambda_{12} + \gamma\Lambda_{12}^\prime \\
-\gamma^\prime\gamma(v+v^\prime)
& \gamma^\prime \gamma-v^\prime \gamma^\prime \Lambda_{12}\end{pmatrix}
</math>

必擁同之矩陣型式。故曰：
: <math> \kappa \equiv \frac{\Lambda_{12}}{v \gamma} = \frac{\Lambda_{12}^\prime}{v^\prime \gamma^\prime}</math>

必一相對速<math>v</math>無關之常數。插入較前等式得<math>\gamma</math>之定義：
: <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + \kappa v^2}}</math>
而最廣泛之勞侖茲變換矩陣型式曰：
: <math>\frac{1}{\sqrt{1+\kappa v^2}} \begin{pmatrix} 1 & \kappa v \\ -v & 1 \end{pmatrix}</math>

至此<math>c^2 = \frac{1}{|\kappa|}</math>乃不變速。若<math>\kappa\,>0</math>，c限之。未符實。故<math>\kappa\le0</math>。

可曰<math>\kappa\,=0</math>、<math>\kappa\,<0</math>兩：

=== 伽利略轉換 ===
<math>\kappa=0</math>得伽利略轉換矩陣：
: <math>\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}</math>
於此時乃絕對之：<math>t^\prime = t</math>。

=== 勞侖茲變換 ===
於更一般<math>c=\frac{1}{\sqrt{-\kappa}} < \infty</math>之情况遂得前之勞侖茲變換矩陣：
: <math>\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\begin{pmatrix} 1 & -\frac{v}{c^2} \\ -v & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}</math>
遂所有參照系不變之速限：<math>c</math>。

== 速度變換公式 ==
設慣性坐標系Σ之各軸之速量u<sub>x</sub>、u<sub>y</sub>、u<sub>z</sub>；Σ'之各軸之速量u'<sub>x</sub>、u'<sub>y</sub>、u'<sub>z</sub>：

:<math>u'_x = \frac{u_x-v}{1 - \frac{v u_x}{c^2}}</math>
:<math>u'_y = \frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_{x}}{c^2}}</math>
:<math>u'_z = \frac{u_z\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_{x}}{c^2}}</math>

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

v遠小光c乃退之[[經典力學]][[伽利略變換]]：

:<math>u'_{x} = u_{x} - v </math>
:<math>u'_{y} = u_{y}</math>
:<math>u'_{z} = u_{z}</math>

== 其他物理量之變換 ==
類時分量<math>A</math>、類空分量<math>\mathbf{Z}=(Z_x,Z_y,Z_z)</math>之[[四維向量]]<math>(A,\mathbf{Z})</math>，其閔考斯基範{{按|Minkowski norm}}乃勞倫茲不變量{{按|Lorentz invariant}}：
:<math>A^2 - \mathbf{Z}\cdot\mathbf{Z}= A'^2 - \mathbf{Z}'\cdot\mathbf{Z}'</math>。

仿寫：
:<math>\begin{align}
A' &= \gamma \left(A - \mathbf{Z}\cdot\boldsymbol{\beta}\right)\mbox{，}\\
\mathbf{Z}' &= \mathbf{Z} + (\gamma-1)(\mathbf{Z}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} - \gamma A\boldsymbol{\beta}\mbox{，} 
\end{align}</math>
箇中<math display="inline">\boldsymbol{\beta} = \mathbf{v}/c= v\mathbf{n}/c</math>，<math display="inline">\mathbf{n}</math>乃<math>\mathbf{v}</math>方向上之單位向量。<math>\mathbf{Z}</math>、<math>\mathbf{Z}'</math>分解成垂直<math>\mathbf{v}</math>和平行<math>\mathbf{v}</math>與位置向量之分解方法同。取逆變換與四維位置同，遂換<math>(A,\mathbf{Z})</math>與<math>(A',\mathbf{Z}')</math>，後相反相對動向，即<math>\mathbf{n} \mapsto -\mathbf{n}</math>。

常見之四維向量如下表：
{| class="wikitable"
!四維向量
!<math>A</math>
!<math>\mathbf{Z}</math>
|-
|[[四維位置]]
|[[時間]]（乘以<math>c</math>）<math>ct</math>
|[[位置向量]] <math>\mathbf{r}</math>
|-
|[[四維動量]]
|[[能量]]（除以<math>c</math>）<math>E/c</math>
|[[动量|動量]] <math>\mathbf{p}</math>
|-
|[[四維波向量]]
|[[角頻率]]（除以<math>c</math>）<math>\omega/c</math>
|波向量 <math>\mathbf{k}</math>
|-
|四維自旋
|（無名稱）<math>s_\text{t}</math>
|[[自旋|自旋 <math>\mathbf{s}</math>]]
|-
|[[四維電流密度]]
|[[電荷密度]]（乘以<math>c</math>）''<math>\rho c</math>''
|[[電流密度]]<math>\mathbf{j}</math>
|-
|[[四維電磁位勢]]
|[[電位]]（除以<math>c</math>）<math>\phi/c</math>
|[[磁向量位]] <math>\mathbf{A}</math>
|}

== 洛倫茲變換之幾何理解 ==

平面幾何向量某<math>(x,y)</math>於原點以<math>\theta</math>順旋之。新系同向量<math>(x^{\prime},y^{\prime})</math>曰：
:<math>\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</math>

長不變曰：<math>(x^\prime)^2+(y^\prime)^2=(x)^2+(y)^2</math>。

異角度<math>\phi</math>再旋之，向量新舊關係曰：
:<math>\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}\\y^{\prime\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) \\
-\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</math>
即：續旋可加。

相似，定義[[快度]]<math>w=\text{arctanh}\beta</math>{{按|略<math>x^2</math>和<math>x^3</math>}}公式可曰：
:<math>\begin{bmatrix}x^\prime{}^0\\ x^\prime{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh w & -\sinh w\\
-\sinh w & \cosh w\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}</math>
即：洛倫兹變換數學同於[[雙曲角]]旋轉。

旋長不變乃：
:<math>(x^\prime{}^0)^2-(x^\prime{}^1)^2=(x^0)^2-(x^1)^2</math>。

換異速<math>\beta_{21}</math>之系，再換<math>\beta_{32}</math>之。使<math>w_{21}=\text{arctanh}\beta_{21}</math>、<math>w_{32}=\text{arctanh}\beta_{32}</math>。即原系座標<math>(x^0,x^1)</math>兩換<math>(x^{\prime\prime}{}^0,x^{\prime\prime}{}^1)</math>曰：
:<math>\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}{}^0\\ x^{\prime\prime}{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh (w_{21} + w_{32}) & -\sinh (w_{21} + w_{32})\\
-\sinh (w_{21} + w_{32}) & \cosh (w_{21} + w_{32})\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}</math>
遂見直加之數非速<math>\beta</math>而乃角之<math>w=\text{arctanh}\beta</math>。

直加減惟因速遠小光{{按|<math>\beta\ll 1</math>}}<math>w</math>速<math>w\simeq \beta</math>。

終，直接轉換若兩速<math>\beta_{31}</math>即：

:<math>\begin{align}
w_{31} &= w_{21} + w_{32} \\
\tanh w_{31} &= \tanh (w_{21} + w_{32}) = \frac{\tanh w_{21} + \tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21} \tanh w_{32}} \\
\beta_{31} &= \frac{\beta_{21} + \beta_{32}}{1+\beta_{21} \beta_{32}}
\end{align}</math>

得之相對論速率加法公式。

== 群論表述 ==
{{Main|勞侖茲群}}

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