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{{當代數學}}'''畢達哥拉斯常數'''者，數學常數也，記曰<math>\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=1.41421356\cdots\cdots</math>

== 無理性 ==

=== 奇偶性 ===
假設畢達哥拉斯常數屬有理數，則其為甲除乙之商也，設甲與乙互質。而甲與乙中必有奇數者，又有甲之平方乃乙之平方乘以二也。故甲之平方為偶數，從而甲偶。設甲為丙乘以二，則運算後可得乙之平方乃丙之平方乘以二也，從而乙偶。此有悖於「甲與乙互質，甲與乙中必有奇數者」之假設，故畢達哥拉斯常數屬無理數。

=== 遞減 ===
設<math>\sqrt{2}=\frac{a}{b}</math>有理，定義<math>S=\{n\in \Z^+:n\sqrt{2}\in\Z^+\}</math>。易見<math>b\in S</math>，故<math>S</math>非空。基於[[良序公理|良序原理]]，<math>S</math>中必有最小之數，稱其為<math>n</math>。設<math>m=n\sqrt{2}</math>。因而<math>\frac{2n}{m}=2\cdot\frac{n}{m}=2\cdot\frac{1}{\frac{m}{n}}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}</math>。吾有

<math>\begin{array}{lcl} m & = & n\sqrt{2} \\ 2n & = & m\sqrt{2} \\ 2n-m & = & (m-n)\sqrt{2} \\ \end{array}</math>

因此<math>m-n\in S</math>。又<math>\sqrt{2}<2 \Rightarrow m<2n \Rightarrow m-n<n</math>，故<math>n</math>非<math>S</math>中最小之數，有悖於前文假設。
<br />

== 歷史 ==
畢達哥拉斯常數者，乃於[[周|東周]][[周貞定王|貞定王]]年間所發現。[[畢達哥拉斯]]証[[勾股定理]]時，始悟一等腰直角三角形中，其長邊與其短邊之比乃<math>\sqrt{2}</math>。因畢達哥拉斯之徒深信世間凡數者，皆為兩數之商之論，故門徒[[希巴素斯]]証<math>\sqrt{2}</math>無理時，即被畢達哥拉斯投於海中而亡。

公元前1800－1600年間，巴比倫族人已得<math>\sqrt{2}\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}\approx1.41421296...</math>，乃確至逾百萬之一也。

== 算術 ==
估<math>\sqrt{2}</math>之值，計策尤多。然而許多尤繁，不便於算，惟巴比倫之策可得<math>\sqrt{2}</math>之有理數估值。其律如下：

其一：略估<math>\sqrt{2}</math>之值，設為<math>a</math>。

其二：算二除以<math>a</math>之值，後加以<math>a</math>，又以二除之，使其代入<math>a</math>中。（以式示之，曰<math>\frac{a+\frac{2}{a}}{2}</math>。）

如是重複，則<math>a</math>之值漸近<math>\sqrt{2}</math>也。

至今為止，<math>\sqrt{2}</math>已被算至十兆數位。

== 特質 ==

=== 三角函數 ===
半直角之正弦及餘弦皆為<math>\sqrt{2}</math>之半：<math>\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>。

故<math>\sqrt{2}</math>於三角學中乃密不可分之部也。

=== 代數 ===
因為<math>\sqrt{2}^{2}-1=1</math>，故<math>(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1</math>，或<math>\sqrt{2}+1=\frac{1}{\sqrt{2}-1}</math>。此特質與[[:zh:白銀比例|白銀比例]]有關也。

=== 連分數 ===
<math>\sqrt{2}</math>之連分數尤為簡易：

<math>\!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 +\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}}</math>

故連分數之估算尤易而得：詳見[[:zh:佩尔数|佩爾數]]一欄。


[[分類:數]]