畢達哥拉斯常數

Template:當代數學畢達哥拉斯常數者，數學常數也，記曰$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=1.41421356\cdots \cdots$

無理性

奇偶性

假設畢達哥拉斯常數屬有理數，則其為甲除乙之商也，設甲與乙互質。而甲與乙中必有奇數者，又有甲之平方乃乙之平方乘以二也。故甲之平方為偶數，從而甲偶。設甲為丙乘以二，則運算後可得乙之平方乃丙之平方乘以二也，從而乙偶。此有悖於「甲與乙互質，甲與乙中必有奇數者」之假設，故畢達哥拉斯常數屬無理數。

遞減

設$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$有理，定義$S=\{n\in {\mathbb{Z}}^{+}:n\sqrt{2}\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$。易見$b\in S$，故$S$非空。基於良序原理，$S$中必有最小之數，稱其為$n$。設$m=n\sqrt{2}$。因而$\frac{2n}{m}=2\cdot \frac{n}{m}=2\cdot \frac{1}{\frac{m}{n}}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。吾有

$\begin{array}{ccc}m& =& n\sqrt{2}\\ 2n& =& m\sqrt{2}\\ 2n-m& =& (m-n)\sqrt{2}\end{array}$

因此$m-n\in S$。又$\sqrt{2}<2\Rightarrow m<2n\Rightarrow m-n<n$，故$n$非$S$中最小之數，有悖於前文假設。

歷史

畢達哥拉斯常數者，乃於東周貞定王年間所發現。畢達哥拉斯証勾股定理時，始悟一等腰直角三角形中，其長邊與其短邊之比乃$\sqrt{2}$。因畢達哥拉斯之徒深信世間凡數者，皆為兩數之商之論，故門徒希巴素斯証$\sqrt{2}$無理時，即被畢達哥拉斯投於海中而亡。

公元前1800－1600年間，巴比倫族人已得$\sqrt{2}\approx 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}\approx 1.41421296...$，乃確至逾百萬之一也。

算術

估$\sqrt{2}$之值，計策尤多。然而許多尤繁，不便於算，惟巴比倫之策可得$\sqrt{2}$之有理數估值。其律如下：

其一：略估$\sqrt{2}$之值，設為$a$。

其二：算二除以$a$之值，後加以$a$，又以二除之，使其代入$a$中。（以式示之，曰$\frac{a+\frac{2}{a}}{2}$。）

如是重複，則$a$之值漸近$\sqrt{2}$也。

至今為止，$\sqrt{2}$已被算至十兆數位。

特質

三角函數

半直角之正弦及餘弦皆為$\sqrt{2}$之半：$\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

故$\sqrt{2}$於三角學中乃密不可分之部也。

代數

因為${\sqrt{2}}^2-1=1$，故$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$，或$\sqrt{2}+1=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$。此特質與白銀比例有關也。

連分數

$\sqrt{2}$之連分數尤為簡易：

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}}$

故連分數之估算尤易而得：詳見佩爾數一欄。

分類:數