View source for 矩陣

{{當代數學}}

夫縱橫之陣，填格以數，以括括之，是為'''矩陣'''，西記之以<math>A_{m \times n}=[a_{ij}]_{m \times n}=\left [ \begin{matrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix} \right ] </math>。

==源==
矩陣之形，蓋出於表格。古以表格之數，作成陣列，簡寫之，是為矩陣。其本無義，義依於其內之數。後而有曰，矩陣自可為一物，為人所究，是以矩陣之學展。

==性==
*形<math>\left [ \begin{matrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix} \right ] </math>者，曰「<math>m \times n</math>階矩陣」，其交以<math>m</math>橫「列」及<math>n</math>直「行」。行列之數等者，曰「方陣」。其各位之數曰「元素」，記曰「<math>a_{ij}</math>」，曰「第<math>(i,j)</math>元」。
*兩矩陣<math>A</math>、<math>B</math>，使階數同等，各元對應相等，曰兩矩陣「相等」，記曰「<math>A=B</math>」。
*凡階數同等者，可以相加減之，其法以同位之元加減。
*矩陣可乘以係數，其各元分乘。

==用==
斯於[[線性代數]]、[[向量]]、[[幾何]]、[[統計]]皆有其大用。以矩陣述向量分量，可以化[[代數]]、[[歐氏幾何]]為一；以述[[機率]]可以計人、物、機率之移化。

===方程式===
作[[增廣矩陣]]，並[[列運算]]，可以之解[[直線方程]]。

例曰：方程組<math>\left \{ \begin{matrix}
3x+4y=7\\
2x-y=1 \\
\end{matrix} \right . </math>，可以<math>\left [ \begin{matrix}
3 &  4 & 7 \\
2 & -1 & 1 \\
\end{matrix} \right ] </math>示之，列運算得<math>\left [ \begin{matrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{matrix} \right ] </math>，則解<math>(x,y) =(1,1)</math>。

===線性變換===
座標中，立點<math>P(x,y)</math>，示以矩陣<math>\left [ \begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix} \right ] </math>，前乘二階方陣<math>A=\left [ \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right ] </math>，其果矩陣<math>\left [ \begin{matrix}
x' \\ y'
\end{matrix} \right ] </math>，視之新點<math>P'(x',y')</math>，謂點P以A變換至P'。

形以方陣變換者，其面積比如方陣[[行列式]]值。有方陣，特有其能，可為伸縮、[[鏡射]]、[[旋轉]]之法。

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