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{{當代數學}}
'''自然對數'''者{{按|Natural logarithm}}，[[對數]]也，以[[歐拉數]]爲底，底計有：

<math>e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=2.7182818284......</math>

==表==
{| class="wikitable"
|+
!n
!ln(n)[[:en:Natural_logarithm_of_2|約數]]
!整數數列線上大全
|-
|2
|0.693147 180559 945309 417232 1214
|A002162
|-
|3
|1.098612 288668 109691 395245 2369
|A002391
|-
|4
|1.386294 361119 890618 834464 2429 
|A016627
|-

|5
|1.609437 912434 100374 600759 3332
|A016628
|-
|6
|1.791759 469228 055000 812477 3583
|A016629
|-
|7
|1.945910 149055 313305 105352 7434
|A016630
|-
|8
|2.079441 541679 835928 251696 3643
|A016631
|-
|9
|2.197224 577336 219382 790490 4738
|A016632
|-
|10
|2.302585 092994 045684 017991 4546
|A002392
|}

==式==
<math>\ln(a) +\ln(b)=\ln(ab)</math>反之亦然

<math>\ln(a)-ln(b)=\ln(\frac{a}{b})</math>

<math>\ln 1=0</math>

<math>\ln e=1</math>

<math>\ln a^n=n\ln a</math>

<math>\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}</math>

<math>\lg n=\frac{\ln(n)}{ln10}</math>

<math>a^n=e^{n\ln a}</math>

<math>\ln n=\ln\frac{n}{n-1}+\ln{(n-1)}=2\sum_{k=1}^\infty[\frac{1}{2k-1}(\frac{1}{2n-1})^{2k-1}]+\ln(n-1)</math>

== 對數運算 ==
由指數函數可知

<math>\log_{a}{N}=x|_{a^{x}=N}</math>

<math>\log_{a}1=0</math>

<math>\log_{a}{a}=1</math>

<math>a^{\log_{a}{N}}=N</math>其對數恒等式也，其至用也，可證對數運算，見其下

<math>\log_{a}{M}+\log_{a}{N}=\log_{a}{(MN)}</math>

設<math>m=\log_{a}{M},n=\log_{a}{N}</math>,則

<math>a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}</math>

由對數恒等式可知

<math>MN=a^{m+n}</math>

<math>m+n=\log_{a}{(MN)}</math>

即<math>\log_{a}{M}+\log_{a}{N}=\log_{a}{(MN)}</math>

<math>\log_{a}{M}-\log_{a}{N}=\log_{a}{\frac{M}{N}}</math>

設<math>m=\log_{a}{M},n=\log_{a}{N}</math>,則

<math>a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}</math>

由對數恒等式可知

<math>\frac{M}{N}=a^{m-n}</math>

<math>m-n=\log_{a}{\frac{M}{N}}</math>

即<math>\log_{a}{M}-\log_{a}{N}=\log_{a}{\frac{M}{N}}</math>

其亦有其[[推論]]

<math>\log_{a}{N^{m}}=m\log_{a}{N}</math>

對數之易底公式

<math>\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}</math>

證：令<math>\log_{a}{b}=m</math>，则

<math>a^m=b</math>

<math>\log_{c}{b}=\log_{c}{a^{m}}=m\log_{c}{a}</math>

則<math>m=\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}=\frac{\log_{c}{a^{m}}}{\log_{c}{a}}=\frac{m\log_{c}{a}}{\log_{c}{a}}=m</math>

故<math>\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}</math>

推論

<math>\log_{m}{n}=\frac{1}{\log_{n}{m}}</math>

<math>\log_{a^m}{b^n}=\frac{n}{m}\log_{a}{b}</math>

<math>e^n=10^{\frac{n}{\ln 10}}</math>

對數製表公式之證明

求證<math>\ln 1=0,\ln n=\ln\frac{n}{n-1}+\ln{(n-1)}=2\sum_{k=1}^\infty[\frac{1}{2k-1}(\frac{1}{2n-1})^{2k-1}]+\ln(n-1)</math>

證明

<math>\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots</math>

<math>\ln(1-x)=x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots</math>

<math>\operatorname{arth}{x}=\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2n-1}x^{2n-1}\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2k-1}x^{2k-1}\right]</math>

令<math>\frac{1+x}{1-x}=\frac{n}{n-1}</math>，則

<math>(n-1)(1+x)=n(1-x)</math>

<math>x=\frac{1}{2n-1}</math>

<math>\ln\frac{n}{n-1}=2\operatorname{arth}\frac{1}{2n-1}=2\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2k-1}\left(\frac{1}{2n-1}\right)^{2k-1}\right]</math>

故原式得證
[[Category:數學]]