自然對數

Template:當代數學 自然對數者Template:按，對數也，以歐拉數爲底，底計有：

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=2.7182818284......$

表

n	ln(n)約數	整數數列線上大全
2	0.693147 180559 945309 417232 1214	A002162
3	1.098612 288668 109691 395245 2369	A002391
4	1.386294 361119 890618 834464 2429	A016627
5	1.609437 912434 100374 600759 3332	A016628
6	1.791759 469228 055000 812477 3583	A016629
7	1.945910 149055 313305 105352 7434	A016630
8	2.079441 541679 835928 251696 3643	A016631
9	2.197224 577336 219382 790490 4738	A016632
10	2.302585 092994 045684 017991 4546	A002392

式

$\ln (a)+\ln (b)=\ln (ab)$反之亦然

$\ln (a)-ln(b)=\ln (\frac{a}{b})$

$\ln 1=0$

$\ln e=1$

$\ln a^n=n\ln a$

${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$

$\lg n=\frac{\ln (n)}{ln10}$

$a^n=e^{n\ln a}$

$\ln n=\ln \frac{n}{n-1}+\ln (n-1)=2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{2k-1}(\frac{1}{2n-1}{)}^{2k-1}]+\ln (n-1)$

對數運算

由指數函數可知

${\log }_{a}N=x{|}_{a^x=N}$

${\log }_{a}1=0$

${\log }_{a}a=1$

$a^{{\log }_{a}N}=N$其對數恒等式也，其至用也，可證對數運算，見其下

${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN)$

設$m={\log }_{a}M,n={\log }_{a}N$,則

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

由對數恒等式可知

$MN=a^{m+n}$

$m+n={\log }_a(MN)$

即${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN)$

${\log }_{a}M-{\log }_{a}N={\log }_a\frac{M}{N}$

設$m={\log }_{a}M,n={\log }_{a}N$,則

$a^m÷a^n=a^{m-n}$

由對數恒等式可知

$\frac{M}{N}=a^{m-n}$

$m-n={\log }_a\frac{M}{N}$

即${\log }_{a}M-{\log }_{a}N={\log }_a\frac{M}{N}$

其亦有其推論

${\log }_a{N}^m=m{\log }_{a}N$

對數之易底公式

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

證：令${\log }_{a}b=m$，则

$a^m=b$

${\log }_{c}b={\log }_c{a}^m=m{\log }_{c}a$

則$m={\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_c{a}^m}{{\log }_{c}a}=\frac{m{\log }_{c}a}{{\log }_{c}a}=m$

故${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

推論

${\log }_{m}n=\frac{1}{{\log }_{n}m}$

${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$

$e^n=10^{\frac{n}{\ln 10}}$

對數製表公式之證明

求證$\ln 1=0,\ln n=\ln \frac{n}{n-1}+\ln (n-1)=2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{2k-1}(\frac{1}{2n-1}{)}^{2k-1}]+\ln (n-1)$

證明

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$

$\ln (1-x)=x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots$

$\mathrm{arth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{2n-1}{x}^{2n-1}\right]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{2k-1}{x}^{2k-1}\right]$

令$\frac{1+x}{1-x}=\frac{n}{n-1}$，則

$(n-1)(1+x)=n(1-x)$

$x=\frac{1}{2n-1}$

$\ln \frac{n}{n-1}=2\mathrm{arth}\frac{1}{2n-1}=2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{2k-1}{\left(\frac{1}{2n-1}\right)}^{2k-1}\right]$

故原式得證