View source for 質數分佈定理

'''質數分布定理'''，所以究[[質數]]之分佈。
== 定理一 ==
質數之以無窮

=== 嚴證 ===
假設質數有窮，則有

<math>p_1,p_2,\cdots\cdots,p_n,</math><sub>p即質數(prime number)</sub>

令諸質數相乘，復加壹，得r

<math>\left[\textstyle \prod_{k=1}^n \displaystyle p_k\right] +1=r</math>

令r除以質數，得

<math>r \div p_j=\eta + \frac{1}{p_j},\eta \in \mathrm{Z},\frac{1}{p_j} \in(0,\frac{1}{2}]</math>

故<math>\frac{r}{p_j} \not\in \mathrm{Z}</math>，故r屬質數，有悖於假設，故題得證。

== 定理二 ==
質數皆相隣於<math>6n,n \in \mathrm{N^*}</math>，且<math>2,3</math>除外。

=== 證 ===
<math>2n' \div 2=n',n'\in\mathrm{N^*}</math>

故

<math>6n,6n+2,6n+4 \in 2n</math>

同理

<math>3n' \div 3=n',n'\in\mathrm{N^*}</math>

故

<math>6n+3 \in \mathrm{N^*}</math>

故命題得證

十進制

[[oeis:A000040|2,3,5,7,11,13,17,19,etc]]

六進制

[[oeis:A004680|2,3,5,11,15,21,25,31,etc]]

== 定理三 ==
質數漸稀

=== 證 ===
由定理二可知

<math>p_3=6-1,p_4=6+1,p_5=2\times 6-1,p_6=2 \times 6+1,\mathrm{etc}</math>

又

<math>p_3 \cdot p_3=(6-1)^2=6^2-2\cdot 6+1,p_3 \cdot p_4=6^2-1,\mathrm{etc}</math>

且謂之質數分布缺陷，且缺陷可無限耦合疊加，故命題得證。

== 兼查 ==
*[[六進制]]
*[[十二進制]]
*[[質數]]

[[分類:數論]]