View source for 量子群

'''量子群'''('''quantum group''')乃一系列[[代數結構]]之通稱，[[霍普夫代數]](Hopf algebra)之特例，亦可視為[[q-量子化]]之李代數也。雖其名曰「羣」，惟彼非[[羣]]矣。以其[[表示論]]可構[[楊振寧-Baxter 方程]]之解，與[[扭結]]之[[鍾斯不變量|不變量]]。

==Drinfeld 所謂之量子群== 
狹義上最常見之'''量子羣'''，又曰'''量子通用包絡代數''' (''quantum universal envelopping algebra, QUE algebra''), 來自[[Vladimir Drinfeld]]、[[Nicolai Reshetikhin]]、[[Michio Jimbo]] 等之學，乃[[Kac-Moody 代數]]<ref>例如[[半單李代數]]</ref>之[[通用包絡代數|通用包絡]]之[[q-形變]]。
設
*<math>\mathfrak{g}</math> 為一[[Kac-Moody 代數]],
*<math>A = (a_{ij})</math> 為其[[嘉當矩陣]]，
*''q''為非 0 非 1 之複數，
則'''量子羣'''<math>U_q(\mathfrak{g})</math>為一[[單元]][[結合代數]]<ref>([[:en:unital associative algebra]])</ref> ，有生成元： 

*<math>k_{\lambda}</math> (其中 <math>\lambda</math> 屬於[[權格]]<ref>([[:en:weight lattice]])</ref>， ''即'' 每一 i 有:<math>2 (\lambda,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i) \in \mathbb{Z}</math>), 
*<math>e_i := e_{\alpha_i}</math>,  其中<math>\alpha_i</math> 為簡單根;
*<math>f_i := f_{\alpha_i}</math>, 其中<math>\alpha_i</math> 為簡單根;
*<math>k_0 = 1</math>;

符
*<math>k_{\lambda} k_{\mu} = k_{\lambda+\mu}</math>,
*<math>k_{\lambda} e_i k_{\lambda}^{-1} = q^{(\lambda,\alpha_i)} e_i</math>,
*<math>k_{\lambda} f_i k_{\lambda}^{-1} = q^{- (\lambda,\alpha_i)} f_i</math>,
*<math>[e_i,f_j] = \delta_{ij} \frac{k_i - k_i^{-1}}{q_i - q_i^{-1}}</math>,
*<math>\sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} e_i^n e_j e_i^{1 - a_{ij} - n} = 0</math>, for <math>i \ne j</math>,
*<math>\sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} f_i^n f_j f_i^{1 - a_{ij} - n} = 0</math>, for <math>i \ne j</math>,
::其中<math>k_i = k_{\alpha_i}</math>；<math>q_i = q^{\frac{1}{2}(\alpha_i,\alpha_i)}</math>； <math>[0]_{q_i}! = 1</math>；<math>[n]_{q_i}!</math>為[[q-階乘]]<ref><math>[n]_{q_i}! = \prod_{m=1}^n [m]_{q_i}</math> 而<math>n</math>為任何正整數</ref>；<math>[m]_{q_i}</math>為[[q-序列]] <ref><math>[m]_{q_i} = \frac{q_i^m - q_i^{-m}}{q_i - q_i^{-1}}</math></ref> 。 

末二關係式曰 「''q''-舍爾關係」<ref>(q-[[:en:Serre relations|Serre relations]])</ref>，即[[舍爾關係]]之q-[[形變]]。

當''q'' 逼近 1，此等關係式漸近於一般 [[通用包絡代數]]<ref>([[:en:universal enveloping algebra]])</ref> <math>U(\mathfrak{g})</math>之關係式，而各元之極限為：
*<math>k_{\lambda} \to 1</math>
*<math>\frac{k_{\lambda} - k_{-\lambda}}{q - q^{-1}} \to t_{\lambda}</math> 
其中 <math>t_{\lambda}</math> 為嘉當子代數<math>\mathfrak{h}</math>一元，其與<math>\mathfrak{h}</math>中任何元''h'' 有關係：<math>(t_{\lambda},h) = \lambda(h)</math>。
存在數種[[餘代數|餘結合餘積]]<ref>[[:en:coalgebra|coassociative coproducts]]</ref> 結構使<math>U_q(\mathfrak{g})</math>成為霍普夫代數，例如：

:*<math>\Delta_1(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda</math>, <math>\Delta_1(e_i) = 1 \otimes e_i + e_i \otimes k_i</math>, <math>\Delta_1(f_i) = k_i^{-1} \otimes f_i + f_i \otimes 1</math>,

:*<math>\Delta_2(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda</math>, <math>\Delta_2(e_i) = k_i^{-1} \otimes e_i + e_i \otimes 1</math>, <math>\Delta_2(f_i) = 1 \otimes f_i + f_i \otimes k_i</math>,

:*<math>\Delta_3(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda</math>, <math>\Delta_3(e_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}</math>, <math>\Delta_3(f_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}</math>, 其中，若有需要，吾人可加入生成元 <math>k_{\lambda}</math> ，而 &lambda; 為某[[權格]]元素與某[[根格]]元素之半 之和；

同時，吾人有'''反餘積'''<ref>reverse coproduct</ref><math>T \circ \Delta</math>，其中 <math>T(x \otimes y) = y \otimes x</math>，即

:*<math>\Delta_4(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda</math>, <math>\Delta_4(e_i) = k_i \otimes e_i + e_i \otimes 1</math>, <math>\Delta_4(f_i) = 1 \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{-1}</math>,其中 <math>\Delta_4 = T \circ \Delta_1</math>,

:*<math>\Delta_5(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda</math>, <math>\Delta_5(e_i) = 1 \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{-1}</math>, <math>\Delta_5(f_i) = k_i \otimes f_i + f_i \otimes 1</math>, where <math>\Delta_5 = T \circ \Delta_2</math>,

:*<math>\Delta_6(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda</math>, <math>\Delta_6(e_i) = k_i^{\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{-\frac{1}{2}}</math>, <math>\Delta_6(f_i) = k_i^{\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{-\frac{1}{2}}</math>, where <math>\Delta_6 = T \circ \Delta_3</math>.

此等餘積有同一[[餘單位元]]<ref>[[:en:counit]]</ref>： <math>\epsilon(k_{\lambda}) = 1</math>, <math>\epsilon(e_i) = 0</math>, <math>\epsilon(f_i) = 0</math>，

其[[霍普夫代數#對映|對映]]<ref>[[:en:Hopf algebra|antipode]]</ref>各為：

:*<math>S_1(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_1(e_i) = - e_i k_i^{-1},\ S_1(f_i) = - k_i f_i</math>,

:*<math>S_2(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_2(e_i) = - k_i e_i,\ S_2(f_i) = - f_i k_i^{-1}</math>,

:*<math>S_3(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_3(e_i) = - q_i e_i,\ S_3(f_i) = - q_i^{-1} f_i</math>,

:*<math>S_4(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_4(e_i) = - k_i^{-1} e_i,\ S_4(f_i) = - f_i k_i</math>,

:*<math>S_5(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_5(e_i) = - e_i k_i,\ S_5(f_i) = - k_i^{-1} f_i</math>,

:*<math>S_6(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_6(e_i) = - q_i^{-1} e_i,\ S_6(f_i) = - q_i f_i</math>.

換一角度，<math>U_q(G)</math> 為域<math>{\mathbb C}(q)</math>上一[[代數]]－－<math>{\mathbb C}</math>上以 ''q'' 為變量之[[有理函數]]域；

亦可視 <math>U_q(G)</math>為域<math>{\mathbb Q}(q)</math>上一[[代數]]－－<math>{\mathbb Q}</math>上以 ''q'' 為變量之[[有理函數]]域（見下文：''q''=0 時之量子羣一節）。
===表示理論===
量子羣有多種表示。

由其[[霍普夫代數]]結構，<math>U_q(G)</math> 有在其自身上之[[伴隨表示]]<ref>[[:en:adjoint representation]]</ref>，如下：
<math>{\mathrm{Ad}}_x.y = \sum_{(x)} x_{(1)} y S(x_{(2)}),</math>

其中<math> x_{(1)}, x_{(2)} </math> 為常用符號（所謂「Sweedler 符號」）
: <math>\sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)} := \Delta(x)</math>。

====情況一：''q''非 1 之根====
[[權表示]]<ref>[[:en:weight representation]]</ref>(或曰「[[權模]]」<ref>[[:en:weight module]]</ref>  )重要。 
權模有由權向量<ref>[[:en: weight vector]]</ref>所成之基。  '''權向量'''即非零向量''v'', 使每<math>\lambda</math>有 <math>k_{\lambda}.v = d_{\lambda} v</math> ，其中每<math>d_{\lambda}</math>為複數，使

:*<math>d_0 = 1</math>,

:*每權 <math>\lambda</math> 、 <math>\mu</math> 有 <math> d_{\lambda} d_{\mu} = d_{\lambda + \mu}</math>,。


若 權格中每一 <math>\lambda</math> 有<math> k_{\lambda}.v = q^{(\lambda,\nu)} v</math> ，則吾人稱 ''v'' 之權為<math>\nu</math> 。

'''可積表示'''<ref>[[:en:integrable representation]]</ref>者, 為一權表示，於其上<math>e_i</math> and <math>f_i</math>之作用俱為零冪 (即其中每一 ''v''，存在正整數''k''使每一 ''i'' 有 <math>e_i^k.v = f_i^k.v = 0</math>)。此時，各數 <math>d_{\lambda}</math> 符 <math>d_{\lambda} = c_{\lambda} q^{(\lambda,\nu)}</math>，其中 <math>\nu</math> 屬於權格，而<math>c_{\lambda}</math> 為複數，使得

:*<math>c_0 = 1</math>,

:* 每權<math>\lambda</math> 、<math>\mu</math> 有<math>c_{\lambda} c_{\mu} = c_{\lambda + \mu}</math>,

:*每''i'' 有<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> 。

[[最高權表示]]尤其重要。最高權模生自單一權向量 ''v''；每一權<math>\lambda</math>， ''v'' 符 <math>k_{\lambda}.v = d_{\lambda} v</math> ，而每一 ''i'' 有  <math>e_i.v = 0</math> 。  類似地，吾人亦有最低權表示，生成自單一權向量 ''v''，而每一 ''i'' 有  <math>f_i.v = 0</math> 。

設<math>\mathfrak{g}</math>為 Kac-Moody 代數，則在其任何不可約最高權表示（以<math>\nu</math>為最高權）中，權重數相等於<math>U(\mathfrak{g})</math>之數最高權表示。若其最高權為[[支配整權]]<ref>[[:en:dominant integral weight]]</ref> （即 <math>2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)</math> 為非負整數）則權譜在[[韋爾羣]] 作用下不變，而此表示可積。

相逆，若有一可積表示，則其最高權向量 ''v'' 適 <math>k_{\lambda}.v = c_{\lambda} q^{(\lambda,\nu)} v</math>，其中 <math>c_{\lambda}</math>  為複數，使

:*<math>c_0 = 1</math>,

:* 每權 <math>\lambda</math>  與<math>\mu</math>
有<math>c_{\lambda} c_{\mu} = c_{\lambda + \mu}</math>,

:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> for all ''i'',

:* <math>\nu</math> 為整支配整權。

二表示之 [[張量積]]亦為一表示。  每<math>U_q(\mathfrak{g})</math>中一元 ''x'' ， 每向量 ''v'' 與 ''w'' 有作用：<math>x.(v \otimes w) = \Delta(x).(v \otimes w)</math>， 使 <math>k_{\lambda}.(v \otimes w) = k_{\lambda}.v \otimes k_{\lambda}.w</math>；對於餘積 <math>\Delta_1</math>， 有 <math>e_i.(v \otimes w) = k_i.v \otimes e_i.w + e_i.v \otimes w</math> 與 <math>f_i.(v \otimes w) = v \otimes f_i.w + f_i.v \otimes k_i^{-1}.w</math>.

上述最高權表示為一一維表示 ( <math>k_{\lambda} = c_{\lambda}</math>，) 與一由 <math>v_0</math> 生成之最高權表示 （每權 <math>\lambda</math> 有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> , 而每''i''有 <math>e_i.v_0 = 0</math> ）之張量積。

特别地，若<math>\mathfrak{g}</math> 為有限維李代數，則支配整最高權表示乃有限維。

最高權表示張量積之直和分解 同一般 [[Kac-Moody 代數]]表示之直和分解。

====情況二：''q''為 1 之根====

<!--- 待修--->

===半三角性===
====情況一：''q''非 1 之根====
嚴格講，<math>U_q(G)</math> 非[[半三角霍普夫代數]] <ref>[[:en:quasitriangular Hopf algebra]]</ref>，唯彼有一無窮級數'''R'''可假作''R''-矩陣。 此無窮級數為<math>e_i</math> 、 <math>f_i</math> 與嘉當生成元 <math>t_{\lambda}</math>之表示式，其中 <math>k_{\lambda}</math>形式地當作 <math>q^{t_{\lambda}}</math>。此式可分成兩因式之積：<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math> 與 一無窮和，其中 <math>\{\lambda_j\}</math> 嘉當子代數之對偶空間之基，而<math>\{\mu_j\}</math>  為其對偶基，<math>\eta</math> 為 +1 或 -1。

此無窮級數 '''R'''  可作用於 兩不可約最高權表示（或兩最低權表示）之張量積。更準確地講，若 ''v'' 為權- <math>\alpha</math>- 向量，''w''為權- <math>\beta</math>-向量，則 <math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}.(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w</math>，而最高權（或最低權）之性使另一因式於  <math>v \otimes w</math> 之作用成有限和。

更準確地講， 若 ''V'' 為最高權表示，則無限和'''R'''在 <math>V\otimes V</math>上定義有一[[作用]]，且 （作為 <math>\mathrm{Hom}(V) \otimes \mathrm{Hom}(V)</math>之元）符 [[楊振寧-Baxter 方程]]，故定義一[[辮羣]]之表示，亦定義[[扭結]]之[[擬不變量]]<ref>[[:en:quasi-invariant]]</ref>。

====情況二：''q''為 1 之根====
待修

===晶體基 - ''q''=o時之量子羣===
[[柏原正樹]]曾研究<math>q \to 0</math>時量子羣之極限行為。
由<math>U_q(G)</math>之定義關係，可視 <math>U_q(G)</math> 為<math>{\mathbb Q}(q)</math> 上之[[霍普夫代數]]。

設 <math>\alpha_i</math> 為[[簡單根]]，<math>n</math>為非負整數，設 <math>e_i^{(n)}: = e_i^n/[n]_{q_i}!</math> ， <math>f_i^{(n)} := f_i^n/[n]_{q_i}!</math> (特别地， <math>e_i^{(0)} = f_i^{(0)} = 1</math>)。設<math>M</math>為可積表示，<math>\lambda</math>為一權，<math>u \in M_{\lambda}</math> （即權<math>\lambda</math>向量） 可唯一地分解成

* <math>u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n)} v_n</math>,

其中 <math>u_n \in \mathrm{ker}(e_i) \cap M_{\lambda + n \alpha_i}</math>, <math>v_n \in \mathrm{ker}(f_i) \cap M_{\lambda - n \alpha_i}</math>，若<math>u_n \ne 0</math> 則必有 <math>n + \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0</math>， 而若 <math>v_n \ne 0</math> 則必有 <math>n - \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0</math>。 線性  影射<math>\tilde{e}_i : M \to M</math> 與 <math>\tilde{f}_i : M \to M</math> 可於<math>M_{\lambda}</math>上定義：

* <math>\tilde{e}_i u = \sum_{n=1}^\infty f_i^{(n-1)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n+1)} v_n</math>，

* <math>\tilde{f}_i u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n+1)} u_n = \sum_{n=1}^\infty e_i^{(n-1)} v_n</math>。
設<math>A</math>為所有<math>{\mathbb Q}(q)</math> 中 於 <math>q = 0</math> 正則 (regular) 之有理函數所成之[[整環]]。（即此類 <math>f(q)</math>：存在多項式 <math>g(q), h(q) \in{\mathbb Q}[q]</math> 使 <math>f(q) = g(q)/h(q)</math>   ，且<math>h(0) \ne 0</math>）。 <math>M</math> 之一 '''晶體基'''<ref>[[:en:crystal base]]</ref>為一有序對 <math>(L,B)</math>，其中

:*<math>L</math> 為<math>M</math>之一自由<math>A</math>-子模，其使 <math>M = {\mathbb Q}(q) \otimes_A L</math>;

:*<math>B</math> 為<math>\mathbb Q</math> 上向量空間<math>L/qL</math> 之一 <math>\mathbb Q</math>-基,

:*<math>L = \oplus_{\lambda} L_{\lambda}</math>，且<math>B = \sqcup_{\lambda} B_{\lambda}</math>，其中<math>L_{\lambda} = L \cap M_{\lambda}</math> ，而<math>B_{\lambda} = B \cap (L_{\lambda}/qL_{\lambda})</math>,

:*每''i'' 有<math>\tilde{e}_i L \subset L</math> 且<math>\tilde{f}_i L \subset L</math> ；

:*每 ''i''有<math>\tilde{e}_i B \subset B \cup \{0\}</math> 且 <math>\tilde{f}_i B \subset B \cup \{0\}</math> ；

:*設 <math>b \in B</math> ， <math>b' \in B</math>，每''i''，有 <math>\tilde{e}_i b = b'</math> 若且僅若<math>\tilde{f}_i b' = b</math>。


概念上， <math>e_i f_i</math> 與 <math>f_i e_i</math>於可積模上 、<math>q = 0</math>時之作用 常有[[奇異|異]]。 吾人引進其上之線性映射<math>\tilde{e}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i</math> 以使  <math>\tilde{e}_i \tilde{f}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i \tilde{e}_i</math>於該模上、 <math>q = 0</math>時之作用為正則。  <math>M</math>有一由權向量 <math>\tilde{B}</math> 組成之<math>{\mathbb Q}(q)</math>-基，使 <math>\tilde{e}_i</math> 與<math>\tilde{f}_i</math> 於其上、<math>q = 0</math> 時之作用為正則。  吾人限制此表示於此基所生成之 <math>A</math>-模上， 再於<math>q = 0</math>時計算其基向量、, the <math>A</math>-子模、 <math>\tilde{e}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i</math> 之作用。 再者，吾人可擇此基，使 <math>q = 0</math>時，每<math>\tilde{e}_i</math> 與 每 <math>\tilde{f}_i</math> 互為轉置(''are represented by mutual transposes'')， 而基向量則映射至基向量或 0。

每晶體基之訊息，可記以一每邊有記號之[[有向圖]]。 圖中每一頂點代表 <math>L/qL</math>之 <math>\mathbb Q</math>-基 <math>B</math> 之一元，每一自 頂點<math>v_1</math> 指 頂點<math>v_2</math> 之有向邊 ''i''代表等式 <math>b_2 = \tilde{f}_i b_1</math> （或 <math>b_1 = \tilde{e}_i b_2</math>），其中<math>b_1</math>為<math>v_1</math>相應之基向量 ，為<math>b_2</math>相應之基向量 <math>v_2</math>。此圖定義<math>\tilde{e}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i</math> 於 <math>q = 0</math>時之作用。 設一可積表示有一晶體基；彼不可約若且僅若其圖[[連通]]。

若一可積表示具晶體基，則其權譜 等於 晶體基之權譜<ref>[[:en:weight spectrum]]</ref>，亦等於相應之 [[Kac-Moody 代數]]之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 [[Kac-Moody 代數]]表示中之重數。
柏原正樹嘗證
  定理：每一可積最高權表示有一晶體基。  


====晶格基之張量積====
設 <math>M</math>為一可積表示，<math>(L,B)</math>為其晶體基。 設<math>M'</math> 為一可積表示， <math>(L',B')</math>為其晶體基。賦與每晶體基一[[餘積]]<ref>[[:en:coproduct]]</ref> <math>\Delta</math>：
*<math>\Delta(k_{\lambda}) := k_{\lambda} \otimes k_{\lambda},</math>
*<math>\Delta(e_i) = e_i \otimes k_i^{-1} + 1 \otimes e_i,</math>
*<math>\Delta(f_i) = f_i \otimes 1 + k_i \otimes f_i</math>。 
可積模<math>M \otimes_{{\mathbb Q}(q)} M'</math> 有一晶體基<math>(L \otimes_A L',B \otimes B')</math>，其中 <math>B \otimes B' = \{ b \otimes_{\mathbb Q} b' : b \in B,\ b' \in B' \}</math>。設 <math>b \in B</math>為基向量；設<math>\epsilon_i(b) := \mathrm{max}\{ n \ge 0 : \tilde{e}_i^n b \ne 0 \}</math>；設 <math>\phi_i(b) := \mathrm{max}\{ n \ge 0 : \tilde{f}_i^n b \ne 0 \}</math>。<math>\tilde{e}_i</math> 與 <math>\tilde{f}_i</math> 於 <math>b \otimes b'</math> 上之作用為

:*<math>\tilde{e}_i (b \otimes b') = \left\{ \begin{matrix} \tilde{e}_i b \otimes b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) \ge \epsilon_i(b'), \\ b \otimes \tilde{e}_i b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) < \epsilon_i(b'), \end{matrix} \right.</math>

:*<math>\tilde{f}_i (b \otimes b') = \left\{ \begin{matrix} \tilde{f}_i b \otimes b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) > \epsilon_i(b'), \\ b \otimes \tilde{f}_i b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) \le \epsilon_i(b'). \end{matrix} \right.</math>

兩可積最高權表示之積可分解成不可約子表示；此分解為其圖之連通部所定。

==緊致矩陣量子羣==

[[S.L. Woronowicz]]引進緊致矩陣量子羣。 緊致矩陣量子羣為一種抽象結構；於其上之「連續函數」為某[[C* 代數]]中之元素。 緊致矩陣量子羣上之幾何為[[非交換幾何]]之特例。

緊致[[Hausdorff 空間]]上之複值連續函數為一交換C*-代數。由[[蓋爾芳特表示|蓋爾芳特定理]]，每一交換C*-代數，存在唯一（除[[同肧]]關係）緊致[[Hausdorff 空間]]，其上之複值連續函數 同構於 原本之C*-代數。

每一緊拓樸羣''G''，存在一 C*-algebra 態射 <math>\Delta : C(G) \to C(G) \otimes C(G)</math> （其中<math>C(G) \otimes C(G)</math> 為 C*-algebra 張量積 －<math>C(G)</math> 與 <math>C(G)</math> 之代數張量積之完備化），使得每<math>f \in C(G)</math>、每 <math>x, y \in G</math>， 有 <math>\Delta(f)(x,y) = f(xy)</math> （其中 <math>(f \otimes g)(x,y) = f(x) g(y)</math> ，而 <math>f, g \in C(G)</math> 且 <math>x, y \in G</math>)。 亦有一線性、積性態映射 <math>\kappa : C(G) \to C(G)</math>，使 每 <math>f \in C(G)</math> 與 <math>x \in G</math> 有<math>\kappa(f)(x) = f(x^{-1})</math>。嚴格講，若 ''G'' 非有限羣，<math>C(G)</math> 不成一霍普夫代數。然而，吾人可用''G''之一有限表示以生成 <math>C(G)</math>之一 *-子代數，是為一 Hopf *-代數。專言之，若<math>g \mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}</math> 為<math>G</math>之一 <math>n</math>-維表示，則每 <math>i, j</math> 有<math>u_{ij} \in C(G)</math>，且<math>\Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}</math>。然則由 <math>u_{ij}</math> 與 <math>\kappa(u_{ij})</math>生成之 *-代數乃一 Hopf *-代數：其[[餘單位元]]為各 <math>\epsilon(u_{ij}) = \delta_{ij}</math> 所定（其中<math>\delta_{ij}</math>為[[Kronecker delta]]，取值０ 或１）, 其對映為 <math>\kappa</math>，其單位元為<math>1 = \sum_k u_{1k} \kappa(u_{k1}) = \sum_k \kappa(u_{1k}) u_{k1}</math>。

推而廣之，一緊矩陣量子羣定義自序對 <math>(C,u)</math>，其中 <math>C</math> 為一 C*-代數，而<math>u = (u_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}</math>為 <math>C</math> 上之矩陣，使

:*<math>C</math>內生成自<math>u</math>之矩陣元之 *-子代數 <math>C_0</math>，於<math>C</math> 內稠密。

:*存在 C*-代數態射<math>\Delta : C \to C \otimes C</math> （其中<math>C \otimes C</math> 為 C*-代數張量積 - <math>C</math> 與 <math>C</math>之代數張量積之完備化）使每 i,j 有 <math>\Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}</math>。人稱<math>\Delta</math>為餘積；

:*存在線性反積性映射<math>\kappa : C_0 \to C_0</math> （「餘逆元」）使每 <math>v \in C_0</math>  有<math>\kappa(\kappa(v*)*) = v</math>，且 <math>\sum_k \kappa(u_{ik}) u_{kj} = \sum_k u_{ik} \kappa(u_{kj}) = \delta_{ij} I</math>，其中<math>I</math>為<math>C</math>之單位元。因 <math>\kappa</math> 之反積性，每<math>v, w \in C_0</math> 有 <math>\kappa(vw) = \kappa(w) \kappa(v)</math>。

由連續性，<math>C</math> 上之餘積有餘結合性。

一般<math>C</math> 非[[雙代數]]；<math>C_0</math> 為一Hopf *-代數。

概念上，可視<math>C</math>為 緊致矩陣量子羣上連續函數所成之 *-代數，<math>u</math> 為緊致矩陣量子羣之一有限維表示。

一緊致矩陣量子羣之有限維表示 為一Hopf *-代數之 [[餘代數|餘表示]] <ref>[[:en:coalgebra|corepresentation]] --  一餘單位餘結合餘代數之餘表示 <math>A</math>為一方矩陣 <math>v = (v_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}</math>，其項來自 <math>A</math> （故<math>v \in M_n(A)</math>）使 每 <math>i, j</math>有<math>\Delta(v_{ij}) = \sum_{k=1}^n v_{ik} \otimes v_{kj}</math>，且 每<math>i, j</math>有 <math>\epsilon(v_{ij}) = \delta_{ij}</math></ref>。  吾人稱表示 ''v'' 為么正， 若其矩陣為么正（或，等價地，若每 ''i'', ''j''有<math>\kappa(v_{ij}) = v^*_{ji}</math> ）。

'''例：<math>SU_{\mu}(2)</math>'''，其中參量 <math>\mu</math> 為一正整數。故 <math>SU_{\mu}(2) = (C(SU_{\mu}(2),u)</math>, 其中 <math>C(SU_{\mu}(2))</math> 為<math>\alpha</math> and <math>\gamma</math>生成之 C*-代數 ，其定義關係為

:<math>\gamma \gamma^* = \gamma^* \gamma, \ \alpha \gamma = \mu \gamma \alpha, \ \alpha \gamma^* = \mu \gamma^* \alpha, \ \alpha \alpha^* + \mu \gamma^* \gamma = \alpha^* \alpha + \mu^{-1} \gamma^* \gamma = I,</math>

而 <math>u = \left( \begin{matrix} \alpha & \gamma \\ - \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> 故其餘積定義自 <math>\Delta(\alpha) = \alpha \otimes \alpha - \gamma \otimes \gamma^*</math>, <math>\Delta(\gamma) = \alpha \otimes \gamma + \gamma \otimes \alpha^*</math>, 其餘逆元定義自<math>\kappa(\alpha) = \alpha^*</math>, <math>\kappa(\gamma) = - \mu^{-1} \gamma</math>, <math>\kappa(\gamma^*) = - \mu \gamma^*</math>, <math>\kappa(\alpha^*) = \alpha</math>。注意：<math>u</math> 為一表示，但非么正。 <math>u</math>等價於么正表示 <math>v = \left( \begin{matrix} \alpha & \sqrt{\mu} \gamma \\ - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).</math>

換言之，<math>SU_{\mu}(2) = (C(SU_{\mu}(2),w)</math>, 其中 <math>C(SU_{\mu}(2))</math> 為<math>\alpha</math> 與 <math>\beta</math>生成之 C*-代數 ，其定義關係為

:<math>\beta \beta^* = \beta^* \beta, \ \alpha \beta = \mu \beta \alpha, \ \alpha \beta^* = \mu \beta^* \alpha, \ \alpha \alpha^* + \mu^2 \beta^* \beta = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = I,</math>

而 <math>w = \left( \begin{matrix} \alpha & \mu \beta \\ - \beta^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> 故其餘積定義自 <math>\Delta(\alpha) = \alpha \otimes \alpha - \mu \beta \otimes \beta^*</math>, <math>\Delta(\beta) = \alpha \otimes \beta + \beta \otimes \alpha^*</math>，且其餘逆元定義自<math>\kappa(\alpha) = \alpha^*</math>, <math>\kappa(\beta) = - \mu^{-1} \beta</math>, <math>\kappa(\beta^*) = - \mu \beta^*</math>, <math>\kappa(\alpha^*) = \alpha</math>。注意：<math>w</math> 乃一么正表示。此等表示可以<math>\gamma = \sqrt{\mu} \beta</math> 互相轉換。

當<math>\mu = 1</math>，則<math>SU_{\mu}(2)</math> 為[[羣]]  <math>SU(2)</math>。

==另見==
* [[李雙代數]]
* [[泊松-李羣]]

==閲==

* [http://arxiv.org/abs/q-alg/9704002 Elementary introduction to quantum groups]
* Christian Kassel.  ''Quantum Groups'' (Springer: 1994).  ISBN 0-387-94370-6.
* Shahn Majid, N. J. Hitchin (series editor).  ''A Quantum Groups Primer'' (Cambridge University Press: 2002).  ISBN 0-521-01041-1. 

==註==
<references/>

[[Category:數理物理]]
[[Category:拓撲量子場論]]
[[Category:數學結構]]
[[Category:代數結構]]
[[Category:量子化]]