量子群

量子群(quantum group)乃一系列代數結構之通稱，霍普夫代數(Hopf algebra)之特例，亦可視為q-量子化之李代數也。雖其名曰「羣」，惟彼非羣矣。以其表示論可構楊振寧-Baxter 方程之解，與扭結之不變量。

Drinfeld 所謂之量子群

狹義上最常見之量子羣，又曰量子通用包絡代數 (quantum universal envelopping algebra, QUE algebra), 來自Vladimir Drinfeld、Nicolai Reshetikhin、Michio Jimbo 等之學，乃Kac-Moody 代數之通用包絡之q-形變。 設

• $𝔤$ 為一Kac-Moody 代數,
• $A=(a_{ij})$ 為其嘉當矩陣，
• q為非 0 非 1 之複數，

則量子羣$U_q(𝔤)$為一單元結合代數 ，有生成元：

• $k_{\lambda }$ (其中 $\lambda$ 屬於權格， 即 每一 i 有:$2(\lambda ,{\alpha }_i)/({\alpha }_i,{\alpha }_i)\in \mathbb{Z}$),
• $e_i:=e_{{\alpha }_i}$, 其中${\alpha }_i$ 為簡單根;
• $f_i:=f_{{\alpha }_i}$, 其中${\alpha }_i$ 為簡單根;
• $k_0=1$;

符

• $k_{\lambda }{k}_{\mu }=k_{\lambda +\mu }$,
• $k_{\lambda }{e}_i{k}_{\lambda }^{-1}=q^{(\lambda ,{\alpha }_i)}{e}_i$,
• $k_{\lambda }{f}_i{k}_{\lambda }^{-1}=q^{-(\lambda ,{\alpha }_i)}{f}_i$,
• $[e_i,f_j]={\delta }_{ij}\frac{k_i-k_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}$,
• $\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1{)}^n\frac{[1-a_{ij}{]}_{q_i}!}{[1-a_{ij}-n{]}_{q_i}![n{]}_{q_i}!}{e}_i^n{e}_j{e}_i^{1-a_{ij}-n}=0$, for $i\ne j$,
• $\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1{)}^n\frac{[1-a_{ij}{]}_{q_i}!}{[1-a_{ij}-n{]}_{q_i}![n{]}_{q_i}!}{f}_i^n{f}_j{f}_i^{1-a_{ij}-n}=0$, for $i\ne j$,

其中$k_i=k_{{\alpha }_i}$；$q_i=q^{\frac{1}{2}({\alpha }_i,{\alpha }_i)}$； $[0{]}_{q_i}!=1$；$[n{]}_{q_i}!$為q-階乘；$[m{]}_{q_i}$為q-序列 。

末二關係式曰 「q-舍爾關係」，即舍爾關係之q-形變。

當q 逼近 1，此等關係式漸近於一般 通用包絡代數 $U(𝔤)$之關係式，而各元之極限為：

• $k_{\lambda }\to 1$
• $\frac{k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}\to t_{\lambda }$

其中 $t_{\lambda }$ 為嘉當子代數$𝔥$一元，其與$𝔥$中任何元h 有關係：$(t_{\lambda },h)=\lambda (h)$。 存在數種餘結合餘積 結構使$U_q(𝔤)$成為霍普夫代數，例如：

• ${\mathrm{\Delta }}_1(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, ${\mathrm{\Delta }}_1(e_i)=1\otimes e_i+e_i\otimes k_i$, ${\mathrm{\Delta }}_1(f_i)=k_i^{-1}\otimes f_i+f_i\otimes 1$,

• ${\mathrm{\Delta }}_2(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, ${\mathrm{\Delta }}_2(e_i)=k_i^{-1}\otimes e_i+e_i\otimes 1$, ${\mathrm{\Delta }}_2(f_i)=1\otimes f_i+f_i\otimes k_i$,

• ${\mathrm{\Delta }}_3(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, ${\mathrm{\Delta }}_3(e_i)=k_i^{-\frac{1}{2}}\otimes e_i+e_i\otimes k_i^{\frac{1}{2}}$, ${\mathrm{\Delta }}_3(f_i)=k_i^{-\frac{1}{2}}\otimes f_i+f_i\otimes k_i^{\frac{1}{2}}$, 其中，若有需要，吾人可加入生成元 $k_{\lambda }$ ，而 λ 為某權格元素與某根格元素之半 之和；

同時，吾人有反餘積$T\circ \mathrm{\Delta }$，其中 $T(x\otimes y)=y\otimes x$，即

• ${\mathrm{\Delta }}_4(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, ${\mathrm{\Delta }}_4(e_i)=k_i\otimes e_i+e_i\otimes 1$, ${\mathrm{\Delta }}_4(f_i)=1\otimes f_i+f_i\otimes k_i^{-1}$,其中 ${\mathrm{\Delta }}_4=T\circ {\mathrm{\Delta }}_1$,

• ${\mathrm{\Delta }}_5(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, ${\mathrm{\Delta }}_5(e_i)=1\otimes e_i+e_i\otimes k_i^{-1}$, ${\mathrm{\Delta }}_5(f_i)=k_i\otimes f_i+f_i\otimes 1$, where ${\mathrm{\Delta }}_5=T\circ {\mathrm{\Delta }}_2$,

• ${\mathrm{\Delta }}_6(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, ${\mathrm{\Delta }}_6(e_i)=k_i^{\frac{1}{2}}\otimes e_i+e_i\otimes k_i^{-\frac{1}{2}}$, ${\mathrm{\Delta }}_6(f_i)=k_i^{\frac{1}{2}}\otimes f_i+f_i\otimes k_i^{-\frac{1}{2}}$, where ${\mathrm{\Delta }}_6=T\circ {\mathrm{\Delta }}_3$.

此等餘積有同一餘單位元： $ϵ(k_{\lambda })=1$, $ϵ(e_i)=0$, $ϵ(f_i)=0$，

其對映各為：

• $S_1(k_{\lambda })=k_{-\lambda },S_1(e_i)=-e_i{k}_i^{-1},S_1(f_i)=-k_i{f}_i$,

• $S_2(k_{\lambda })=k_{-\lambda },S_2(e_i)=-k_i{e}_i,S_2(f_i)=-f_i{k}_i^{-1}$,

• $S_3(k_{\lambda })=k_{-\lambda },S_3(e_i)=-q_i{e}_i,S_3(f_i)=-q_i^{-1}{f}_i$,

• $S_4(k_{\lambda })=k_{-\lambda },S_4(e_i)=-k_i^{-1}{e}_i,S_4(f_i)=-f_i{k}_i$,

• $S_5(k_{\lambda })=k_{-\lambda },S_5(e_i)=-e_i{k}_i,S_5(f_i)=-k_i^{-1}{f}_i$,

• $S_6(k_{\lambda })=k_{-\lambda },S_6(e_i)=-q_i^{-1}{e}_i,S_6(f_i)=-q_i{f}_i$.

換一角度，$U_q(G)$ 為域$ℂ(q)$上一代數－－$ℂ$上以 q 為變量之有理函數域；

亦可視 $U_q(G)$為域$\mathbb{Q}(q)$上一代數－－$\mathbb{Q}$上以 q 為變量之有理函數域（見下文：q=0 時之量子羣一節）。

表示理論

量子羣有多種表示。

由其霍普夫代數結構，$U_q(G)$ 有在其自身上之伴隨表示，如下： ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_x.y=\sum _{(x)}{x}_{(1)}yS(x_{(2)}),$

其中$x_{(1)},x_{(2)}$ 為常用符號（所謂「Sweedler 符號」）

$\sum _{(x)}{x}_{(1)}\otimes x_{(2)}:=\mathrm{\Delta }(x)$。

情況一：q非 1 之根

權表示(或曰「權模」 )重要。 權模有由權向量所成之基。 權向量即非零向量v, 使每$\lambda$有 $k_{\lambda }.v=d_{\lambda }v$ ，其中每$d_{\lambda }$為複數，使

• $d_0=1$,

• 每權 $\lambda$ 、 $\mu$ 有 $d_{\lambda }{d}_{\mu }=d_{\lambda +\mu }$,。

若 權格中每一 $\lambda$ 有$k_{\lambda }.v=q^{(\lambda ,\nu )}v$ ，則吾人稱 v 之權為$\nu$ 。

可積表示者, 為一權表示，於其上$e_i$ and $f_i$之作用俱為零冪 (即其中每一 v，存在正整數k使每一 i 有 $e_i^k.v=f_i^k.v=0$)。此時，各數 $d_{\lambda }$ 符 $d_{\lambda }=c_{\lambda }{q}^{(\lambda ,\nu )}$，其中 $\nu$ 屬於權格，而$c_{\lambda }$ 為複數，使得

• $c_0=1$,

• 每權$\lambda$ 、$\mu$ 有$c_{\lambda }{c}_{\mu }=c_{\lambda +\mu }$,

• 每i 有$c_{2{\alpha }_i}=1$ 。

最高權表示尤其重要。最高權模生自單一權向量 v；每一權$\lambda$， v 符 $k_{\lambda }.v=d_{\lambda }v$ ，而每一 i 有 $e_i.v=0$ 。 類似地，吾人亦有最低權表示，生成自單一權向量 v，而每一 i 有 $f_i.v=0$ 。

設$𝔤$為 Kac-Moody 代數，則在其任何不可約最高權表示（以$\nu$為最高權）中，權重數相等於$U(𝔤)$之數最高權表示。若其最高權為支配整權 （即 $2(\mu ,{\alpha }_i)/({\alpha }_i,{\alpha }_i)$ 為非負整數）則權譜在韋爾羣 作用下不變，而此表示可積。

相逆，若有一可積表示，則其最高權向量 v 適 $k_{\lambda }.v=c_{\lambda }{q}^{(\lambda ,\nu )}v$，其中 $c_{\lambda }$ 為複數，使

• $c_0=1$,

• 每權 $\lambda$ 與$\mu$

有$c_{\lambda }{c}_{\mu }=c_{\lambda +\mu }$,

• $c_{2{\alpha }_i}=1$ for all i,

• $\nu$ 為整支配整權。

二表示之 張量積亦為一表示。 每$U_q(𝔤)$中一元 x ， 每向量 v 與 w 有作用：$x.(v\otimes w)=\mathrm{\Delta }(x).(v\otimes w)$， 使 $k_{\lambda }.(v\otimes w)=k_{\lambda }.v\otimes k_{\lambda }.w$；對於餘積 ${\mathrm{\Delta }}_1$， 有 $e_i.(v\otimes w)=k_i.v\otimes e_i.w+e_i.v\otimes w$ 與 $f_i.(v\otimes w)=v\otimes f_i.w+f_i.v\otimes k_i^{-1}.w$.

上述最高權表示為一一維表示 ( $k_{\lambda }=c_{\lambda }$，) 與一由 $v_0$ 生成之最高權表示 （每權 $\lambda$ 有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> , 而每i有 $e_i.v_0=0$ ）之張量積。

特别地，若$𝔤$ 為有限維李代數，則支配整最高權表示乃有限維。

最高權表示張量積之直和分解 同一般 Kac-Moody 代數表示之直和分解。

半三角性

情況一：q非 1 之根

嚴格講，$U_q(G)$ 非半三角霍普夫代數 ，唯彼有一無窮級數R可假作R-矩陣。 此無窮級數為$e_i$ 、 $f_i$ 與嘉當生成元 $t_{\lambda }$之表示式，其中 $k_{\lambda }$形式地當作 $q^{t_{\lambda }}$。此式可分成兩因式之積：$q^{\eta \sum _j{t}_{{\lambda }_j}\otimes t_{{\mu }_j}}$ 與 一無窮和，其中 $\{{\lambda }_j\}$ 嘉當子代數之對偶空間之基，而$\{{\mu }_j\}$ 為其對偶基，$\eta$ 為 +1 或 -1。

此無窮級數 R 可作用於 兩不可約最高權表示（或兩最低權表示）之張量積。更準確地講，若 v 為權- $\alpha$- 向量，w為權- $\beta$-向量，則 $q^{\eta \sum _j{t}_{{\lambda }_j}\otimes t_{{\mu }_j}}.(v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w$，而最高權（或最低權）之性使另一因式於 $v\otimes w$ 之作用成有限和。

更準確地講， 若 V 為最高權表示，則無限和R在 $V\otimes V$上定義有一作用，且 （作為 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V)\otimes \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V)$之元）符 楊振寧-Baxter 方程，故定義一辮羣之表示，亦定義扭結之擬不變量。

情況二：q為 1 之根

待修

晶體基 - q=o時之量子羣

柏原正樹曾研究$q\to 0$時量子羣之極限行為。 由$U_q(G)$之定義關係，可視 $U_q(G)$ 為$\mathbb{Q}(q)$ 上之霍普夫代數。

設 ${\alpha }_i$ 為簡單根，$n$為非負整數，設 $e_i^{(n)}:=e_i^n/[n{]}_{q_i}!$ ， $f_i^{(n)}:=f_i^n/[n{]}_{q_i}!$ (特别地， $e_i^{(0)}=f_i^{(0)}=1$)。設$M$為可積表示，$\lambda$為一權，$u\in M_{\lambda }$ （即權$\lambda$向量） 可唯一地分解成

• $u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i^{(n)}{u}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}_i^{(n)}{v}_n$,

其中 $u_n\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(e_i)\cap M_{\lambda +n{\alpha }_i}$, $v_n\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_i)\cap M_{\lambda -n{\alpha }_i}$，若$u_n\ne 0$ 則必有 $n+\frac{2(\lambda ,{\alpha }_i)}{({\alpha }_i,{\alpha }_i)}\ge 0$， 而若 $v_n\ne 0$ 則必有 $n-\frac{2(\lambda ,{\alpha }_i)}{({\alpha }_i,{\alpha }_i)}\ge 0$。 線性 影射${\tilde{e}}_i:M\to M$ 與 ${\tilde{f}}_i:M\to M$ 可於$M_{\lambda }$上定義：

• ${\tilde{e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_i^{(n-1)}{u}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}_i^{(n+1)}{v}_n$，

• ${\tilde{f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i^{(n+1)}{u}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}_i^{(n-1)}{v}_n$。

設$A$為所有$\mathbb{Q}(q)$ 中 於 $q=0$ 正則 (regular) 之有理函數所成之整環。（即此類 $f(q)$：存在多項式 $g(q),h(q)\in \mathbb{Q}[q]$ 使 $f(q)=g(q)/h(q)$ ，且$h(0)\ne 0$）。 $M$ 之一 晶體基為一有序對 $(L,B)$，其中

• $L$ 為$M$之一自由$A$-子模，其使 $M=\mathbb{Q}(q){\otimes }_{A}L$;

• $B$ 為$\mathbb{Q}$ 上向量空間$L/qL$ 之一 $\mathbb{Q}$-基,

• $L={\oplus }_{\lambda }{L}_{\lambda }$，且$B={\bigsqcup }_{\lambda }{B}_{\lambda }$，其中$L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }$ ，而$B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/q{L}_{\lambda })$,

• 每i 有${\tilde{e}}_{i}L\subset L$ 且${\tilde{f}}_{i}L\subset L$ ；

• 每 i有${\tilde{e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}$ 且 ${\tilde{f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}$ ；

• 設 $b\in B$ ， $b^{\prime }\in B$，每i，有 ${\tilde{e}}_{i}b=b^{\prime }$ 若且僅若${\tilde{f}}_i{b}^{\prime }=b$。

概念上， $e_i{f}_i$ 與 $f_i{e}_i$於可積模上 、$q=0$時之作用 常有異。 吾人引進其上之線性映射${\tilde{e}}_i$ 與 ${\tilde{f}}_i$ 以使 ${\tilde{e}}_i{\tilde{f}}_i$ 與 ${\tilde{f}}_i{\tilde{e}}_i$於該模上、 $q=0$時之作用為正則。 $M$有一由權向量 $\tilde{B}$ 組成之$\mathbb{Q}(q)$-基，使 ${\tilde{e}}_i$ 與${\tilde{f}}_i$ 於其上、$q=0$ 時之作用為正則。 吾人限制此表示於此基所生成之 $A$-模上， 再於$q=0$時計算其基向量、, the $A$-子模、 ${\tilde{e}}_i$ 與 ${\tilde{f}}_i$ 之作用。 再者，吾人可擇此基，使 $q=0$時，每${\tilde{e}}_i$ 與 每 ${\tilde{f}}_i$ 互為轉置(are represented by mutual transposes)， 而基向量則映射至基向量或 0。

每晶體基之訊息，可記以一每邊有記號之有向圖。 圖中每一頂點代表 $L/qL$之 $\mathbb{Q}$-基 $B$ 之一元，每一自 頂點$v_1$ 指 頂點$v_2$ 之有向邊 i代表等式 $b_2={\tilde{f}}_i{b}_1$ （或 $b_1={\tilde{e}}_i{b}_2$），其中$b_1$為$v_1$相應之基向量 ，為$b_2$相應之基向量 $v_2$。此圖定義${\tilde{e}}_i$ 與 ${\tilde{f}}_i$ 於 $q=0$時之作用。 設一可積表示有一晶體基；彼不可約若且僅若其圖連通。

若一可積表示具晶體基，則其權譜 等於 晶體基之權譜，亦等於相應之 Kac-Moody 代數之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 Kac-Moody 代數表示中之重數。 柏原正樹嘗證

 定理：每一可積最高權表示有一晶體基。  

晶格基之張量積

設 $M$為一可積表示，$(L,B)$為其晶體基。 設$M^{\prime }$ 為一可積表示， $(L^{\prime },B^{\prime })$為其晶體基。賦與每晶體基一餘積 $\mathrm{\Delta }$：

• $\mathrm{\Delta }(k_{\lambda }):=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda },$
• $\mathrm{\Delta }(e_i)=e_i\otimes k_i^{-1}+1\otimes e_i,$
• $\mathrm{\Delta }(f_i)=f_i\otimes 1+k_i\otimes f_i$。

可積模$M{\otimes }_{\mathbb{Q}(q)}{M}^{\prime }$ 有一晶體基$(L{\otimes }_A{L}^{\prime },B\otimes B^{\prime })$，其中 $B\otimes B^{\prime }=\{b{\otimes }_{\mathbb{Q}}{b}^{\prime }:b\in B,b^{\prime }\in B^{\prime }\}$。設 $b\in B$為基向量；設${ϵ}_i(b):=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{n\ge 0:{\tilde{e}}_i^{n}b\ne 0\}$；設 ${\varphi }_i(b):=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{n\ge 0:{\tilde{f}}_i^{n}b\ne 0\}$。${\tilde{e}}_i$ 與 ${\tilde{f}}_i$ 於 $b\otimes b^{\prime }$ 上之作用為

• ${\tilde{e}}_i(b\otimes b^{\prime })=\{\begin{array}{cc}{\tilde{e}}_{i}b\otimes b^{\prime },& \mathrm{i}\mathrm{f}{\varphi }_i(b)\ge {ϵ}_i(b^{\prime }),\\ b\otimes {\tilde{e}}_i{b}^{\prime },& \mathrm{i}\mathrm{f}{\varphi }_i(b)<{ϵ}_i(b^{\prime }),\end{array}$

• ${\tilde{f}}_i(b\otimes b^{\prime })=\{\begin{array}{cc}{\tilde{f}}_{i}b\otimes b^{\prime },& \mathrm{i}\mathrm{f}{\varphi }_i(b)>{ϵ}_i(b^{\prime }),\\ b\otimes {\tilde{f}}_i{b}^{\prime },& \mathrm{i}\mathrm{f}{\varphi }_i(b)\le {ϵ}_i(b^{\prime }).\end{array}$

兩可積最高權表示之積可分解成不可約子表示；此分解為其圖之連通部所定。

緊致矩陣量子羣

S.L. Woronowicz引進緊致矩陣量子羣。 緊致矩陣量子羣為一種抽象結構；於其上之「連續函數」為某C* 代數中之元素。 緊致矩陣量子羣上之幾何為非交換幾何之特例。

緊致Hausdorff 空間上之複值連續函數為一交換C*-代數。由蓋爾芳特定理，每一交換C*-代數，存在唯一（除同肧關係）緊致Hausdorff 空間，其上之複值連續函數 同構於 原本之C*-代數。

每一緊拓樸羣G，存在一 C*-algebra 態射 $\mathrm{\Delta }:C(G)\to C(G)\otimes C(G)$ （其中$C(G)\otimes C(G)$ 為 C*-algebra 張量積 －$C(G)$ 與 $C(G)$ 之代數張量積之完備化），使得每$f\in C(G)$、每 $x,y\in G$， 有 $\mathrm{\Delta }(f)(x,y)=f(xy)$ （其中 $(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)$ ，而 $f,g\in C(G)$ 且 $x,y\in G$)。 亦有一線性、積性態映射 $\kappa :C(G)\to C(G)$，使 每 $f\in C(G)$ 與 $x\in G$ 有$\kappa (f)(x)=f(x^{-1})$。嚴格講，若 G 非有限羣，$C(G)$ 不成一霍普夫代數。然而，吾人可用G之一有限表示以生成 $C(G)$之一 *-子代數，是為一 Hopf *-代數。專言之，若$g\mapsto (u_{ij}(g){)}_{i,j}$ 為$G$之一 $n$-維表示，則每 $i,j$ 有$u_{ij}\in C(G)$，且$\mathrm{\Delta }(u_{ij})=\sum _k{u}_{ik}\otimes u_{kj}$。然則由 $u_{ij}$ 與 $\kappa (u_{ij})$生成之 *-代數乃一 Hopf *-代數：其餘單位元為各 $ϵ(u_{ij})={\delta }_{ij}$ 所定（其中${\delta }_{ij}$為Kronecker delta，取值０ 或１）, 其對映為 $\kappa$，其單位元為$1=\sum _k{u}_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _k\kappa (u_{1k})u_{k1}$。

推而廣之，一緊矩陣量子羣定義自序對 $(C,u)$，其中 $C$ 為一 C*-代數，而$u=(u_{ij}{)}_{i,j=1,\dots ,n}$為 $C$ 上之矩陣，使

• $C$內生成自$u$之矩陣元之 *-子代數 $C_0$，於$C$ 內稠密。

• 存在 C*-代數態射$\mathrm{\Delta }:C\to C\otimes C$ （其中$C\otimes C$ 為 C*-代數張量積 - $C$ 與 $C$之代數張量積之完備化）使每 i,j 有 $\mathrm{\Delta }(u_{ij})=\sum _k{u}_{ik}\otimes u_{kj}$。人稱$\mathrm{\Delta }$為餘積；

• 存在線性反積性映射$\kappa :C_0\to C_0$ （「餘逆元」）使每 $v\in C_0$ 有$\kappa (\kappa (v*)*)=v$，且 $\sum _k\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _k{u}_{ik}\kappa (u_{kj})={\delta }_{ij}I$，其中$I$為$C$之單位元。因 $\kappa$ 之反積性，每$v,w\in C_0$ 有 $\kappa (vw)=\kappa (w)\kappa (v)$。

由連續性，$C$ 上之餘積有餘結合性。

一般$C$ 非雙代數；$C_0$ 為一Hopf *-代數。

概念上，可視$C$為 緊致矩陣量子羣上連續函數所成之 *-代數，$u$ 為緊致矩陣量子羣之一有限維表示。

一緊致矩陣量子羣之有限維表示 為一Hopf *-代數之 餘表示 。 吾人稱表示 v 為么正， 若其矩陣為么正（或，等價地，若每 i, j有$\kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}$ ）。

例：$S{U}_{\mu }(2)$，其中參量 $\mu$ 為一正整數。故 $S{U}_{\mu }(2)=(C(S{U}_{\mu }(2),u)$, 其中 $C(S{U}_{\mu }(2))$ 為$\alpha$ and $\gamma$生成之 C*-代數 ，其定義關係為

$\gamma {\gamma }^{*}={\gamma }^{*}\gamma ,\alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\alpha {\gamma }^{*}=\mu {\gamma }^{*}\alpha ,\alpha {\alpha }^{*}+\mu {\gamma }^{*}\gamma ={\alpha }^{*}\alpha +{\mu }^{-1}{\gamma }^{*}\gamma =I,$

而 $u=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \gamma \\ -{\gamma }^{*}& {\alpha }^{*}\end{array}\right),$ 故其餘積定義自 $\mathrm{\Delta }(\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes {\gamma }^{*}$, $\mathrm{\Delta }(\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes {\alpha }^{*}$, 其餘逆元定義自$\kappa (\alpha )={\alpha }^{*}$, $\kappa (\gamma )=-{\mu }^{-1}\gamma$, $\kappa ({\gamma }^{*})=-\mu {\gamma }^{*}$, $\kappa ({\alpha }^{*})=\alpha$。注意：$u$ 為一表示，但非么正。 $u$等價於么正表示 $v=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \sqrt{\mu }\gamma \\ -\frac{1}{\sqrt{\mu }}{\gamma }^{*}& {\alpha }^{*}\end{array}\right).$

換言之，$S{U}_{\mu }(2)=(C(S{U}_{\mu }(2),w)$, 其中 $C(S{U}_{\mu }(2))$ 為$\alpha$ 與 $\beta$生成之 C*-代數 ，其定義關係為

$\beta {\beta }^{*}={\beta }^{*}\beta ,\alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\alpha {\beta }^{*}=\mu {\beta }^{*}\alpha ,\alpha {\alpha }^{*}+{\mu }^2{\beta }^{*}\beta ={\alpha }^{*}\alpha +{\beta }^{*}\beta =I,$

而 $w=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \mu \beta \\ -{\beta }^{*}& {\alpha }^{*}\end{array}\right),$ 故其餘積定義自 $\mathrm{\Delta }(\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes {\beta }^{*}$, $\mathrm{\Delta }(\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes {\alpha }^{*}$，且其餘逆元定義自$\kappa (\alpha )={\alpha }^{*}$, $\kappa (\beta )=-{\mu }^{-1}\beta$, $\kappa ({\beta }^{*})=-\mu {\beta }^{*}$, $\kappa ({\alpha }^{*})=\alpha$。注意：$w$ 乃一么正表示。此等表示可以$\gamma =\sqrt{\mu }\beta$ 互相轉換。

當$\mu =1$，則$S{U}_{\mu }(2)$ 為羣 $SU(2)$。

另見

• 李雙代數
• 泊松-李羣

閲

• Elementary introduction to quantum groups
• Christian Kassel. Quantum Groups (Springer: 1994). ISBN 0-387-94370-6.
• Shahn Majid, N. J. Hitchin (series editor). A Quantum Groups Primer (Cambridge University Press: 2002). ISBN 0-521-01041-1.