一元二次方程

Template:當代數學 元數一而次數二之方程，是謂一元二次方程。通式：$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$。

法

因式分解法

化方程爲$a{x}^2+bx+c=0$者。若可拆之為因式積，則可以因式分解之。

公式法

方程如$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$者，其解爲：

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

亦作爲：

$x_{1,2}=\frac{2c}{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}.$

證明

公式者，可以配方證之。

一般

一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$者，$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$乃其根之判式也。以判式，得解如下：

• 若$\mathrm{\Delta }>0$，則此方程含不等實數根有二。若係數均有理數，且$\mathrm{\Delta }$乃完全平方數，則二解均有理數，否則均爲實數矣。

• 若$\mathrm{\Delta }=0$，則此方程含實數根有一。為

$x=-\frac{b}{2a}$

• 若$\mathrm{\Delta }<0$，則此方程含不等複數根有二。為

$x_{1,2}=\frac{-b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$

其中$i^2=-1$

二次映射法

方程$a{x}^2+bx+c=0$解之幾何意，爲二次映射$y=a{x}^2+bx+c$之圖像與x軸交點之X坐標也。

韋達定理

以韋達定理，方程之解，並係數之關係如下：

$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

用

今人有用其分解因式者，化為通式，求之雙根，則方程之左化為兩式之積。兩式均為天元減其根，勿論正負。復乘二次之系數，即得。以分解因式求根者逆之，毋贅。$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ 。$x_1$、$x_2$者，$a{x}^2+bx+c=0$之雙根也。