一元三次方程

一立方函數之圖： $f(x)=\frac{x^3}{4}+\frac{3x^2}{4}-\frac{3x}{2}-2$ 也。其實根（即 $x$ 截距）有三： $x=-4$ ， $x=-1$ 及 $x=2$ ；其臨界點有二。

元數一而次數三之方程，是謂一元三次方程，或立方函數之方程也。常書一元三次方程為 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$。

解法

欲解一元三次方程，必先去二次項，而成簡版方程。後以卡贊諾或韋達之法，皆能得解。其終式如下： $x_1=-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}{)}^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}{)}^3}}+\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}{)}^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}{)}^3}}$

$x_2=-\frac{b}{3a}+\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}{)}^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}{)}^3}}+\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}{)}^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}{)}^3}}$

$x_3=-\frac{b}{3a}+\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}{)}^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}{)}^3}}+\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}{)}^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}{)}^3}}$

簡化

欲求甚解者，必先去其二次項。此乃求解之要步也，以便其思路，易生求解之法於心中。簡化時，全式除以 $a$ ，以 $x=t-\frac{b}{3a}$ 代之，得 $t^3+pt+q=0$ 之制，其中： $p=\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{3a^2}$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$

證： $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

$x^3+\frac{b}{a}{x}^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

$(t-\frac{b}{3a}{)}^3+\frac{b}{a}(t-\frac{b}{3a}{)}^2+\frac{c}{a}(t-\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}=0$

$t^3-\frac{b}{a}{t}^2+\frac{b^2}{3a^2}t-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{b}{a}{t}^2-\frac{2b^2}{3a^2}t+\frac{b^3}{9a^3}+\frac{c}{a}t-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0$

$t^3+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2})t+(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a})=0$

$t^3+pt+q=0$

終步則以 $t$ 之三可能值加諸 $-\frac{b}{3a}$ 成解也。

此步后，毋論卡贊諾之法或韋達之法，具解 $t$ 也。

卡贊諾之法

大賢卡贊諾云：設 $t=u+v$ 。得：

$(u+v{)}^3+p(u+v)+q=0$

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$

又：設 $3uv+p=0$ 。則： $\{\begin{array}{c}{u}^3+v^3=-q...(1)\\ u^3{v}^3=-\frac{p^3}{27}...(2)\end{array}$

$u^3$ 和 $v^3$ 皆 $y^2+qy-\frac{p^3}{27}=0$ 之解。以一元二次方程公式可解之。得：

$u^3,v^3=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+\frac{4}{27}{p}^3}}{2}=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

復以單位根求 $u,v$ 之三可能值，以 $u+v$ 得 $t$ （實解者相加，複解者系數乃共軛者相加）。遂以 $x=t-\frac{b}{3a}$ 得解也。

韋達之法

大賢韋達云：設 $t=z+\frac{k}{z}$ 。得：

$(z+\frac{k}{z}{)}^3+p(z+\frac{k}{z})+q=0$

$z^3+(3k+p)(z+\frac{k}{z})+\frac{k^3}{z^3}+q=0$

又：設 $3k+p=0$ 。則： $z^3+q+\frac{k^3}{z^3}=0$

$z^3+q-\frac{p^3}{27z^3}=0$

$z^6+q{z}^3-27p^3=0$

由是，得 $z^3$ 乃 $y^2+qy-\frac{p^3}{27}=0$ 解之一。以一元二次方程公式可解之。其解同上卡贊諾之法，緣此與彼同一方程也。

復以單位根求 $z$ 之三可能值，以 $z+\frac{k}{z}=z-\frac{p}{3z}$ 得 $t$ 。遂以 $x=t-\frac{b}{3a}$ 得解也。

根之性

先設判別式： $\mathrm{\Delta }=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}{)}^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}{)}^3$

則：

若 $\mathrm{\Delta }>0$ ，有實根一且共軛複根一雙；

若 $\mathrm{\Delta }=0$ ，有多重實根，其中：

• 若 $\frac{q^2}{4}=\frac{p^3}{27}\ne 0$ ，有一二重實根且一單實根。
• 若 $\frac{q^2}{4}=\frac{p^3}{27}=0$ ，有一三重實根。

若 $\mathrm{\Delta }<0$ ，有三異實根。