孿生質數

孿生質數者，質數之差二也，若三與五，五與七爾爾。

3, 5, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, etc

難題

孿生質數之無窮乎。遂有數學家究之，然求其倒數之和，值收斂，名曰布隆常數

$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots \cdots =1.90216058\cdots \cdots$

今仍無解，或下文爲可證其無窮性。

無窮性之證

全部證明請見條目之孪生质数无穷多的证明者也.

N(twin primes)

$\mathrm{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{\cdot }\frac{1}{3}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{5}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{7}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{11}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{13}\mathrm{)}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{]}$

$\mathrm{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{\cdot }\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{3}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{5}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{7}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{11}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{2}{13}\mathrm{)}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{]}$

$\mathrm{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{n}\mathrm{\cdot }\mathrm{k}\mathrm{[}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{3}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{5}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{7}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{11}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{13}\mathrm{)}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}{\mathrm{]}}^{\mathrm{2}}$

$\mathrm{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{4}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{[}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{2}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{3}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{5}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{7}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{11}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\frac{1}{13}\mathrm{)}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}{\mathrm{]}}^{\mathrm{2}}$

$\mathrm{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4kn}{[\ln (n)+\gamma {]}^2}$

$\mathrm{=}\mathrm{\infty }$

兼查

• senary
• duodecimal