拓撲量子場論

拓撲量子場論者，量子場論一也，其相關函數於時空（微分）同胚下不變。於物理，彼為吾人初窺完整量子場論之方便法門；於疇算，彼為廿世紀八十年代以降之重要範式，貫代數、幾何、拓撲諸學，啓示新知。

公理

設

• d為一整數
• $\mathrm{\Sigma }$為一環
• $ℬ$ 為 d+1 維 共邊(cobordism) 範疇
• $\mathrm{\Sigma }-mod$為$\mathrm{\Sigma }$－模成之範疇

則拓撲量子場論為一對合(involutory)、可積(multiplicative) 函子：$ℬ⟶\mathrm{\Sigma }-mod$。

(待續)

例

零維(d=0)

• Borel-Weil 定理

一維(d=1)

• Floer-Gromov 理論
• 全純共形場論

二維(d=2)

• Jones-Witten-Chern-Simons 理論

三維(d=3)

• Floer-Donaldson 理論

沿革

(待續)

據

• Atiyah, Michael Francis (1989) <<Topological Quantum Field Theories>>, Publications I.H.E.S. [1]